La magia de las ciencias exactas

En el curso de ecuaciones diferenciales solía plantear este problema a mis alumnos: supongamos que perforamos un túnel en la superficie de la Tierra desde el polo Norte hasta el polo Sur pasando por el centro; si dejamos caer un pequeño objeto en el polo Norte ¿en cuánto tiempo llega al polo Sur? La respuesta es una de las razones por las cuales no dejo de creer que en la física y la matemática hay cierta magia.

La respuesta al problema es un simple número, pero más que la respuesta el encanto está en el camino para llegar a la solución. Antes resolver el acertijo ¿cuál creen que sería la respuesta? ¿Dos minutos, media hora, una hora? La belleza de la ciencia es que siempre terminan educando la intuición en situaciones donde no se tiene la menor idea de lo que sucede. Bueno, guarden su respuesta y la comparamos al final.

El problema es fácil de resolver cuando tenemos todos los elementos de juicio a la mano. Es un problema de caída libre, pero la fuerza no es constante, pues mientras el objeto cae la fuerza de gravedad es cada vez menor. De hecho, ¡en el centro del planeta la fuerza es cero! porque al estar en el centro, la gravedad se cancela por simetría. Usando la segunda ley de Newton (fuerza igual a masa por aceleración) podemos relacionar la información relevante llegando a esta expresión:

G es la constante de gravitación universal, rho es la densidad de la Tierra.

Eso que ven en la figura es una ecuación diferencial. Es el concepto matemático que captura la relación entre cantidades que cambian y el ritmo al que cambian, como la posición y la aceleración. De esta ecuación podemos obtener la trayectoria del objeto en cada instante de tiempo a partir del inicio de su caída y con eso podemos resolver nuestro problema. Sin embargo hay una forma más elegante de encontrar la respuesta.

Uno de los sistemas más estudiados en los cursos de física y matemática es el movimiento de un objeto unido a un resorte. La intuición funciona muy bien aquí, pues podemos imaginar que el movimiento es oscilatorio. Las oscilaciones serán rápidas o lentas dependiendo de qué tan masivo sea el objeto y que tan blando o duro sea el resorte. La segunda ley de Newton correspondiente es:

k es la constante del resorte (duro o blando), m es la masa del objeto unido al resorte.

bien, vean las dos ecuaciones. Es evidente que se parecen mucho. Lo que tienen de diferente son esos símbolos justo después del signo de suma. Aquí viene la observación fundamental: las dos situaciones son en realidad dos versiones de la misma ecuación, por lo tanto, si para un caso el movimiento es oscilatorio, para el otro también. En otras palabras: el movimiento del objeto que atraviesa la Tierra es exactamente el mismo que el movimiento de una masa unida a un resorte. ¿Por qué? Porque las ecuaciones que usamos para analizar su movimiento son exactamente iguales, solo cambia la información propia de cada caso.

Esa es la magia: por alguna razón, la naturaleza utiliza la misma fórmula matemática para representar dos cosas absolutamente diferentes. El experimento de la masa y el resorte se puede hacer y se puede medir la oscilación. El experimento del túnel es imposible de realizar, pero no tenemos que hacerlo para saber el resultado porque tenemos una fórmula que abstrae la esencia del problema y nos da una respuesta.

Ejemplos como este abundan. Esta es una de las razones por las que la física estudia cosas tan simples como un sistema de masa y resorte, porque la misma estructura matemática sirve para conceptos que aparecen en mecánica cuántica o en la órbita de un satélite. El poder de las ciencias exactas estriba en que la naturaleza reutiliza sus formulaciones matemáticas a escalas en las que es imposible para la percepción humana obtener información de forma directa. No es posible ver un átomo o un electrón, pero tenemos las fórmulas que rigen su comportamiento. Tampoco es posible viajar por el cosmos, pero tenemos las fórmulas que describen su historia y su futuro.

Tal vez la palabra “magia” no sea la adecuada, pues no se trata de un truco que trate de aparentar algo que no es. Sin embargo, en el diccionario de la RAE también está la acepción: “encanto, hechizo o atractivo de alguien o algo”, esta es totalmente aplicable a la ciencia.

Finalmente, la respuesta al problema es 42 minutos. (Se obtiene de calcular la frecuencia, que es la raíz cuadrada de 4/3*pi*rho*G y luego el período de oscilación que es 2*pi dividido entre la frecuencia).

¿Coincidió la respuesta con su intuición inicial?